Kekuatan Komputasi Menunjukkan Inspirasi Segar Bagi Matematika

Kekuatan Komputasi Memberikan Ide Segar bagi Matematika

Dalam bukunya tahun 1989, The Emperor’s New Mind, Roger Penrose berkomentar ihwal keterbatasan pengetahuan insan dengan contoh: Ia berkonjektur kalau kita tidak akan mungkin tahu apakah string 10 angka tujuh berurutan akan muncul dalam perluasan angka bilangan pi.

Hanya delapan tahun kemudian, Yasumasa Kanada menggunakan komputer menemukan string tersebut, dimulai dari angka ke  22869046249 pi. Penrose terang tidak sendiri dalam ketidakmampuannya melihat kekuatan besar yang sanggup dibawa komputer. Banyak fenomena matematika yang di masa kemudian terlihat tak terpecahkan dan tidak sanggup diketahui, kini sanggup diketahui, dengan presisi yang tinggi.

Dalam artikelnya,  “Exploratory Experimentation and Computation,” yang tampil bulan November 2011 di  Notices of the American Mathematical Society, David H. Bailey dan Jonathan M. Borwein menjelaskan bagaimana teknologi komputer modern telah memperluas kemampuan kita mengetahui hasil matematika baru. “Dengan menghitung verbal matematika pada presisi sangat tinggi, komputer sanggup menemukan kekerabatan dan rumus yang sepenuhnya tak terduga,” kata Bailey.

Matematika, Ilmu ihwal Pola

Mispersepsi umum ialah pekerjaan seorang matematikawan sepenuhnya ialah menghitung. Jika itu benar, komputer semestinya sudah menggantikan matematikawan semenjak lama. Apa yang bahwasanya dilkaukan matematikawan ialah menemukan dan menilik pola – pola yang muncul dalam bilangan, dalam bentuk abstrak, dalam transformasi antara objek matematis berbeda, dan sebaginya. Mempelajari pola demikian membutuhkan alat yang tajam dan memuaskan, dan, sampai sekarang, komputer masih merupakan alat yang terlalu tumpul, atau tidak cukup kuat, untuk berkhasiat banyak dalam matematika. Namun di ketika yang sama, bidang matematika tumbuh dan menjadi semakin dalam sehingga kini beberapa pertanyaan yang muncul tampak membutuhkan kemampuan tambahan di luar otak manusia.

“Ada consensus yang mulai diterima kalau pikiran insan intinya tidak anggun dalam matematika dan harus dilatih,” kata Bailey. “Dengan fakta ini, komputer sanggup dilihat sebagai komplemen insan – kita sanggup berintuisi namun tidak arif menghitung atau memanipulasi; komputer tidak arif berintuisi namun bagus  dalam menghitung dan memanipulasi.”

 Walaupun matematika disebut sebagai “ilmu deduktif”, matematikawan selalu menggunakan eksplorasi, apakah lewat perhitungan atau gambar, untuk menguji gagasan dan memperoleh intuisi, dengan cara yang kurang lebih sama dengan ilmu induktif melaksanakan eksperimen. Sekarang, aspek induktif matematika ini tumbuh lewat pemakaian komputer, yang telah meningkatkan jumlah dan tipe eksplorasi yang sanggup dilakukan. Komputer tentunya digunakan untuk meringankan beban menghitung, namun ia juga digunakan untuk memvisualisasi objek matematika, menemukan kekerabatan gres antar objek tersebut, dan menguji (dan khususnya memfalsifikasi) konjektur. Seorang matematikawan juga menggunakan komputer untuk mengeksplorasi hasil untuk melihat apakah ia pantas untuk mencoba melaksanakan pembuktian. Jika demikian, maka kadangkala komputer sanggup memberi petunjuk ihwal bagaimana bukti sanggup diteruskan. Bailey dan Borwien menggunakan istilah “matematika eksperimental” untuk menjelaskan jenis pemakaian komputer ini dalam matematika.

Mengeksplorasi Bilangan Prima dengan Komputer

Artikel mereka memberi beberapa pola matematika eksperimental: perhitungan angka pi yang disebut di atas ialah salah satunya. Contoh lain disediakan oleh eksplorasi komputer pada persoalan matematika yang disebut konjektur Giuga. Konjektur ini mengajukan kalau, untuk setiap bilangan bundar kasatmata n, kita sanggup menguji secara niscaya apakah n bilangan prima atau bukan dengan menghitung jumlah niscaya dimana n muncul dalam eksponen penjumlahan. Jumlah tersebut harus mempunyai nilai tertentu, sebut saja S, kalau dan hanya kalau n ialah bilangan prima; dikatakan secara berbeda, jumlah tersebut tidak akan mempunyai nilai S kalau dan hanya kalau n bilangan komposit. Walaupun konjektur ini dibentuk tahun 1950, ia belum sanggup terbukti sampai kini dan terlihat diluar jangkauan metode matematika konvensional.

 Walau begitu, Bailey dan Borwein, bersama dengan kolaboratornya, bisa menggunakan komputer untuk memperlihatkan kalau setiap bilangan yang merupakan pengecualian dari konjektur Giuga harus mempunyai lebih dari 3,678 faktor prima dan lebih dari 17,168 angka desimal panjangnya. Yaitu, setiap bilangan komposit yang lebih pendek tidak sanggup memperlihatkan nilai S. Ini tidak mengambarkan kalau konjektur Giuga benar, namun ialah bukti yang meyakinkan dalam mendukung kebenaran konjektur tersebut. Jenis bukti empiris ini kadang yang diharapkan untuk memperlihatkan keyakinan yang cukup bagi matematikawan untuk mendedikasikan energinya mencari bukti penuh. Tanpa keyakinan tersebut, ide untuk mencari bukti mungkin tidak ada.

Dampak pada Pendidikan

Selain membahas pemanfaatan komputer dalam matematika, artikel ini juga menyentuh kebutuhan untuk menyusun ulang pendidikan matematika untuk memberi pelajar alat matematika eksperimental. “Pelajar masa kini hidup, menyerupai kita, di dalam dunia kaya informasi tapi miskin evaluasi dimana ledakan informasi, dan alat, tidak akan hilang,” kata Borwein. “Jadi kita harus mengajarkan evaluasi (bukan hanya persoalan plagiarism( ketika menggunakan apa yang telah tersedia secara digital. Selain itu, tampak bagi saya penting kalau kita merancang desain software – dan gaya mengajar kita secara umum – dengan pemahaman kita yang semakin besar mengenai kekuatan dan keterbatasan kognitif kita sebagai spesies.”

Sumber berita: American Mathematical Society