Menuju Ke Abstrak
Pemahaman akan pengertian ajaib tampaknya masih dianggap sebagai suatu yang sulit bahkan tak teraplikasi. Bagi orang di pinggir jalan, boleh jadi menganggap orang yang belajar matematika ajaib sebagai orang sinting.
Saatnya kita harus menguak apa yang dimaksud ajaib dalam matematika? Apakah suatu yang tidak real? Hanyakah ngoyoworo ataukah hanyakah khayalan orang? Apakah menyerupai aljabar ajaib itu suatu yang mengada-ada saja ataukah memang harus menuju ke situ?
Berikut supaya sanggup memberi citra akan pemahaman tersebut. Sebagai langkah-langkah sebelum ke abstrak, kita berkecimpung dengan aritmatika yang di dalamnya ada proses menyerupai penjumlahan, perkalian, dan ada penggunaan variabel. Pengenalan ajaib di Sekolah Menengan Atas biasanya dimulai dengan pelajaran induksi matematik dimana harus menunjukan keteraturan hingga tak hingga dengan membuktikan implikasi Pk--->Pk+1 dan menunjukan P0 benar.
Waktu kita melangkah dari perhitungan dasar ke penggunaan variabel, kita meluaskan orientasi kepada cakupan perhitungan yang lebih luas. Kita sanggup mengoperasikan bilangan-bilangan tanpa mengetahui berapa bilangannya, cukup dengan variabel. Nah ini, dari aritmatika menuju ajaib yang banyak menciptakan kepala para mahasiswa sakit, sebetulnya juga merupakan ekspansi orientasi menuju semakin bermacam-macam dan semakin luas. Kita mulai dengan mempelajari sekelompok obyek, kemudian interaksi antar obyek, yang kemudian kita namakan operasi biner, mempelajari keteraturannya, mempelajari ciri-cirinya, kemudian memformulasikannya menjadi aksioma-aksioma.
Contoh di bawah mungkin sanggup menjadi bayangan akan langkah tersebut, kita mulai dengan PENGANTAR TEORI BILANGAN.
Subgroup bilangan bulat
Kita perhatikan perhatikan himpunan bilangan lingkaran (integer), yaitu {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} yang kemudian biasa dinotasikan dengan Z. < abjad Z ini yaitu diambil dari kependekan Zahl=bilangan dari Bhs Jerman>
Diberikan suatu himpunan bab dari Z, katakanlah himpunan S. Himpunan S disebut subgroup dari Z kalau memenuhi :
(i) x+y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S,
(ii) 0 anggota dari S,
(iii) -x anggota dari S untuk setiap x anggota dari S.
Berikut supaya sanggup memberi citra akan pemahaman tersebut. Sebagai langkah-langkah sebelum ke abstrak, kita berkecimpung dengan aritmatika yang di dalamnya ada proses menyerupai penjumlahan, perkalian, dan ada penggunaan variabel. Pengenalan ajaib di Sekolah Menengan Atas biasanya dimulai dengan pelajaran induksi matematik dimana harus menunjukan keteraturan hingga tak hingga dengan membuktikan implikasi Pk--->Pk+1 dan menunjukan P0 benar.
Waktu kita melangkah dari perhitungan dasar ke penggunaan variabel, kita meluaskan orientasi kepada cakupan perhitungan yang lebih luas. Kita sanggup mengoperasikan bilangan-bilangan tanpa mengetahui berapa bilangannya, cukup dengan variabel. Nah ini, dari aritmatika menuju ajaib yang banyak menciptakan kepala para mahasiswa sakit, sebetulnya juga merupakan ekspansi orientasi menuju semakin bermacam-macam dan semakin luas. Kita mulai dengan mempelajari sekelompok obyek, kemudian interaksi antar obyek, yang kemudian kita namakan operasi biner, mempelajari keteraturannya, mempelajari ciri-cirinya, kemudian memformulasikannya menjadi aksioma-aksioma.
Contoh di bawah mungkin sanggup menjadi bayangan akan langkah tersebut, kita mulai dengan PENGANTAR TEORI BILANGAN.
Subgroup bilangan bulat
Kita perhatikan perhatikan himpunan bilangan lingkaran (integer), yaitu {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} yang kemudian biasa dinotasikan dengan Z. < abjad Z ini yaitu diambil dari kependekan Zahl=bilangan dari Bhs Jerman>
Diberikan suatu himpunan bab dari Z, katakanlah himpunan S. Himpunan S disebut subgroup dari Z kalau memenuhi :
(i) x+y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S,
(ii) 0 anggota dari S,
(iii) -x anggota dari S untuk setiap x anggota dari S.
< catatan : Kalau pernah mempelajari ihwal teori group, maka syarat-syarat di atas tidak lain sifat tertutup(i), ada elemen identitas(ii), dan untuk setiap anggota dari S yang bukan 0 punya invers. Di kasus bilangan lingkaran ini sifat asosiatif sanggup dirunut dg gampang dari sifat tertutup >
Suatu himpunan bab tak kosong S dari Z yaitu subgroup kalau dan hanya kalau x - y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S.
Bukti :
S subgroup dari Z ==> x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S
Karena y anggota dari S, maka -y anggota dari S
Karena x dan -y anggota dari S, maka x+(-y)=x-y anggota dari S
x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S ==> S subgroup dari Z
Karena S tak kososng maka ada anggotanya, misalkan x anggota dari S, maka x-x=0 yaitu anggota dari S , jadi 0 dan x anggota dari S sehingga 0-x=-x anggota dari S , kemudian kalau x dan y anggota dari S, sehingga -y anggota dari S, kemudian x-(-y)=x+y anggota dari S . Terbukti.
Bukti :
S subgroup dari Z ==> x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S
Karena y anggota dari S, maka -y anggota dari S
Karena x dan -y anggota dari S, maka x+(-y)=x-y anggota dari S
x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S ==> S subgroup dari Z
Karena S tak kososng maka ada anggotanya, misalkan x anggota dari S, maka x-x=0 yaitu anggota dari S , jadi 0 dan x anggota dari S sehingga 0-x=-x anggota dari S , kemudian kalau x dan y anggota dari S, sehingga -y anggota dari S, kemudian x-(-y)=x+y anggota dari S . Terbukti.
Taruhlah m yaitu bilangan bulat, dan kita buat notasi mZ={mn|n anggota Z}. Maka mZ yaitu subgroup dari Z.
Teorema I
Jika S yaitu saubgroup dari Z, maka S = mZ untuk suatu bilngan lingkaran tak negatif m. < dengan kata lain, teorema ini menyampaikan bahwa kalau S yaitu subgroup dari Z, maka niscaya berbentuk himpunan kelipatan dari suatu bilangan lingkaran tak negatif {0,1,2,3,...} >
Bukti :
Kita buat dua kemungkinan, yaitu :
pertama --> kalau S = {0}, maka sanggup ditulis S=mZ dengan m=0.
kedua --> kalau S tidak sama dengan {0}, atau S memuat bilangan lingkaran tak nol. Maka tentunya S memuat bilangan lingkaran faktual < karena kalau x anggota S maka -x juga anggota S >. Kita ambil contohnya m yaitu bilangan lingkaran faktual yang terkecil di S. Lalu suatu bilangan lingkaran faktual n di S akan sanggup ditulis dalam bentuk n=qm+r, dimana q yaitu suatu bilangan lingkaran faktual dan r suatu bilangan lingkaran yang memenuhi 0<=r. Dengan demikian r juga anggota S, alasannya yaitu r=n-qm. Karena diasumsikan m yaitu yang terkecil, maka haruslah r=0. Makara n=qm, dengan demikian n anggota mZ, yang berarti S=mZ. Terbukti.
Teorema tersebut menyampaikan bahwa kalau sebuah himpunan yang anggotanya bilangan-bilangan lingkaran serta memenuhi tiga aksioma untuk subgroup di atas, maka tentulah anggota-anggota himpunan tersebut berbentuk kelipatan dari suatu bilangan lingkaran positif.
Jika S yaitu saubgroup dari Z, maka S = mZ untuk suatu bilngan lingkaran tak negatif m. < dengan kata lain, teorema ini menyampaikan bahwa kalau S yaitu subgroup dari Z, maka niscaya berbentuk himpunan kelipatan dari suatu bilangan lingkaran tak negatif {0,1,2,3,...} >
Bukti :
Kita buat dua kemungkinan, yaitu :
pertama --> kalau S = {0}, maka sanggup ditulis S=mZ dengan m=0.
kedua --> kalau S tidak sama dengan {0}, atau S memuat bilangan lingkaran tak nol. Maka tentunya S memuat bilangan lingkaran faktual < karena kalau x anggota S maka -x juga anggota S >. Kita ambil contohnya m yaitu bilangan lingkaran faktual yang terkecil di S. Lalu suatu bilangan lingkaran faktual n di S akan sanggup ditulis dalam bentuk n=qm+r, dimana q yaitu suatu bilangan lingkaran faktual dan r suatu bilangan lingkaran yang memenuhi 0<=r. Dengan demikian r juga anggota S, alasannya yaitu r=n-qm. Karena diasumsikan m yaitu yang terkecil, maka haruslah r=0. Makara n=qm, dengan demikian n anggota mZ, yang berarti S=mZ. Terbukti.
Teorema tersebut menyampaikan bahwa kalau sebuah himpunan yang anggotanya bilangan-bilangan lingkaran serta memenuhi tiga aksioma untuk subgroup di atas, maka tentulah anggota-anggota himpunan tersebut berbentuk kelipatan dari suatu bilangan lingkaran positif.
Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi :
Taruhlah a1,a2,...,ar yaitu bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Faktor komplotan dari a1,a2,...,ar yaitu suatu bilangan lingkaran yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor komplotan terbesar dari a1,a2,...,ar yaitu bilangan lingkaran faktual terbesar yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor komplotan terbesar dari a1,a2,...,ar dinaotasikan dengan (a1,a2,...,ar).
Definisi :
Taruhlah a1,a2,...,ar yaitu bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Faktor komplotan dari a1,a2,...,ar yaitu suatu bilangan lingkaran yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor komplotan terbesar dari a1,a2,...,ar yaitu bilangan lingkaran faktual terbesar yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor komplotan terbesar dari a1,a2,...,ar dinaotasikan dengan (a1,a2,...,ar).
Teorema II
Taruhlah a1,a2,...,ar yaitu bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Maka ada bilangan-bilangan lingkaran sebutlah u1,u2,...,ur sedemikian hingga
(a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur
dimana (a1,a2,...,ar) yaitu Faktor Persekutuan Terbesar dari a1,a2,...,ar.
Bukti :
Pembuktian teorema ini, pertama kita harus menyampaikan bahwa suatu himpunan S yang anggota-anggotanya berbentuk n1a1 + n2a2 + . . . +nrar dimana n1, n2,..., nr bilangan-bilangan lingkaran merupakan subgroup dari Z dengan menyampaikan terpenuhinya 3 aksioma di atas. Lalu sesudah terbukti, maka alasannya yaitu
S subgroup Z, akan berbentuk mZ. Dengan kata lain bahwa setiap anggota S merupakan kelipatan dari m. Dengan demikian m yaitu faktor komplotan dari a1,a2,...,ar. Karena FPB yaitu faktor persekutuan, maka otomatis ada u1,u2,...,ur sehingga (a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur. Terbukti.
Kiranya, ini sanggup menjadi citra bahwa yang namanya ajaib bukan suatu yang tidak aplikatif, melainkan yaitu ekspansi orientasi kita dalam memandang. Memang terlihat lebih sulit, alasannya yaitu kita mencoba menengok yang disebalik dari yang nampak.
Semoga bermanfaat bagi semuanya.
Taruhlah a1,a2,...,ar yaitu bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Maka ada bilangan-bilangan lingkaran sebutlah u1,u2,...,ur sedemikian hingga
(a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur
dimana (a1,a2,...,ar) yaitu Faktor Persekutuan Terbesar dari a1,a2,...,ar.
Bukti :
Pembuktian teorema ini, pertama kita harus menyampaikan bahwa suatu himpunan S yang anggota-anggotanya berbentuk n1a1 + n2a2 + . . . +nrar dimana n1, n2,..., nr bilangan-bilangan lingkaran merupakan subgroup dari Z dengan menyampaikan terpenuhinya 3 aksioma di atas. Lalu sesudah terbukti, maka alasannya yaitu
S subgroup Z, akan berbentuk mZ. Dengan kata lain bahwa setiap anggota S merupakan kelipatan dari m. Dengan demikian m yaitu faktor komplotan dari a1,a2,...,ar. Karena FPB yaitu faktor persekutuan, maka otomatis ada u1,u2,...,ur sehingga (a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur. Terbukti.
Kiranya, ini sanggup menjadi citra bahwa yang namanya ajaib bukan suatu yang tidak aplikatif, melainkan yaitu ekspansi orientasi kita dalam memandang. Memang terlihat lebih sulit, alasannya yaitu kita mencoba menengok yang disebalik dari yang nampak.
Semoga bermanfaat bagi semuanya.
0 Komentar untuk "Menuju Ke Abstrak"