Bilangan Basis Sepuluh: Definisi Dan Aplikasinya Dalam Soal Olimpiade Matematika

Bilangan Basis Sepuluh: Definisi dan Aplikasinya Dalam Soal Olimpiade Matematika

Dalam kehidupan sehari - hari, kalau melihat bilangan 6825 maka kebanyakan orang akan secara otomatis membaca "enam ribu delapan ratus dua puluh lima". Hal ini berarti ada enam bilangan seribu, delapan bilangan seratus, dua bilangan sepuluh dan ditambah lima. Dalam notasi matematika ditulis,

6825=6×1000+8×100+2×10+5

Penyajian bilangan ibarat di atas dikenal sebagai penyajian bilangan dalam basis sepuluh atau desimal.

Sebenarnya selain basis sepuluh, terdapat pula penyajian bilangan dalam basis lain. Seperti basis dua yang banyak digunakan di dunia komputerisasi, sanggup juga basis tiga, empat dan seterusnya. Namun dalam kehidupan sehari - hari sudah terdapat semacam konvensi bahwa bilangan yang umum digunakan ialah dalam basis sepuluh.

Nah berkenaan dengan hal itu, akan kita pelajari khusus mengenai basis sepuluh. Untuk basis lain mungkin lain kali ya. Dan sebagai janji pula, untuk postingan kali semua bilangan yang muncul ialah dalam basis sepuluh kecuali ditulis lain. Ingat itu, jangan bingung.

Definisi Basis Sepuluh

Penyajian bilangan dalam basis sepuluh ialah sistem penyajian bilangan yang menggunakan sepuluh sebagai basis/ dasarnya. Dalam basis sepuluh, (n+1) digit bilangan lingkaran nonnegatif N=anan−1an−2⋯a1a0 bermakna

N=an×10n+an−1×10n−1+an−2×10n−2+⋯+a×10+a0∗∗)

Sehingga bilangan 2324 bermakna 2×103+3×102+2×10+4.

Manfaat penyajian bilangan ibarat pada ∗∗) ialah sebuah bilangan diekspansi dalam (n+1) bilangan yang independen. Itu artinya meskipun ada beberapa digit dari bilangan tersebut yang belum diketahui, kita tetap sanggup melaksanakan operasi penjumlahan, pengurangan dan operasi perkalian secara bebas. Tanpa terlalu terkait antara satu dengan yang lain.

Contoh soal berikut mungkin sanggup memberi sedikit citra manfaat ibarat yang aku utarakan di atas.

Contoh 1.
abcdef ialah bilangan enam digit sedemikian sehingga defabc bernilai enam kali abcdef. Tentukan nilai a+b+c+d+e+f.
Penyelesaian : Perhatikan bahwa kita sanggup menulis abcdef=abc000+def=1000⋅abc+def. Sehingga menurut perkiraan soal diperoleh,

1000⋅def+abc1000⋅def+abc994⋅def142⋅def=6(1000⋅abc+def)=6000⋅abc+6⋅def)=5999⋅abc=857⋅abc

Karena FPB(142,857)=1 maka 857 membagi def. Padahal def ialah bilangan tiga digit berakibat def=857. Sehingga tentu saja abc=142. Oleh alasannya ialah itu, a+b+c+d+e+f=1+4+2+8+5+7=27.

Atau mungkin teladan soal lain yang ibarat dan pernah ditanyakan melalui blog ini yaitu
Tentukan bilangan enam digit MANDOR sehingga 7×MANDOR=6×DORMAN.
Setelah melihat teladan di atas aku rasa pembaca sudah sanggup menuntaskan soal ini dengan mudah.

Beberapa Bentuk Khusus.

• aaa⋯aan of a=a(10n−1+10n−2+10n−3+⋯+10+1)=a9(10n−1)
• abab⋯abn of ab=ab(102(n−1)+102(n−2)+⋯+102+1)=ab99(102n−1)
• abcabc⋯abcn of abc=abc(103(n−1)+103(n−2)+⋯+103+1)=abc999(103n−1)

dan seterusnya apabila terdapat pengulangan digit secara periodik, pembaca sanggup memilih sendiri bagaimana formulanya dengan melihat beberapa teladan di atas.

Contoh Aplikasi Dalam Soal

Contoh 2.
Tentukan bilangan lingkaran kasatmata terkecil yang digit pertamanya ialah 4, dan kalau digit 4 tersebut dipindah ke bab final dari bilangan tersebut akan diperoleh bilangan gres yang nilainya 14 dari bilangan semula.
Penyelesaian : Misalkan bilangan tersebut ialah N yang terdiri dari (n+1) digit. Maka diperoleh N=4×10n+x dengan x ialah bilangan terdiri dari n digit. Berdasarkan perkiraan pada soal diperoleh,

4(10x+4)39x39x39x13x=4×10n+x=4×10n−16=4(10n−4)=4×999⋯99n6=4×333⋯33n2

Selanjutnya tinggal dicek nilai n terkecil sehingga 13 membagi 333⋯33n2.

1. 32=13×2+6
2. 332=13×25+7
3. 3332=13×256+4
4. 33332=13×2564

Oleh alasannya ialah itu diperoleh, 13x=4×33332⇔x=4×2564=10256. Jadi, didapat N=410256.

Contoh 3.
Buktikan bilangan - bilangan dalam barisan

12,1122,111222,11112222,⋯

merupakan hasil perkalian dari dua bilangan lingkaran berurutan.
Penyelesaian : Kita selidiki untuk beberapa kasus 12=3×4, 1122=33×34, 111222=333×334. Nah mulai terlihat polanya, bahwa

11⋯11n22⋯22n=33⋯33n×33⋯33n−14

Tinggal bagaimana cara menunjukan argumen tersebut.
Untuk tujuan ini bentuk khusus ibarat yang telah aku tuliskan di atas sanggup dimanfaatkan. Perhatikan bahwa,

11⋯11n22⋯22n=11⋯11n×10n+22⋯22n=19(10n−1)×10n+29(10n−1)=19(10n−1)(10n+2)=(10n−13)(10n+23)=(10n−13)(10n−1+33)=(10n−13)(10n−13+1)

dan alasannya ialah 10n−13=33⋯33n, maka terbukti.

Untuk Anda Coba !

1. Tentukan bilangan orisinil terkecil N yang memenuhi kedua sifat berikut :
   1. Digit terakhirnya ialah 6.
   2. Jika digit 6 tersebut dipindah menjadi digit pertama akan terbentuk bilangan gres yang nilainya empat kali N.
2. Buktikan kalau abc habis dibagi 37 maka bca juga habis dibagi 37.
3. Misalkan N ialah bilangan tiga digit sedemikian sehingga jumlah ketiga digitnya sama dengan 21. Jika digit - digit dari N dibalik, sebagai teladan 123 menjadi 321, maka bilangan gres yang terbentuk lebih besar 495 dari N. Tentukan bilangan N tersebut.
4. Buktikan setiap bilangan pada barisan di bawah ini merupakan kuadrat sempurna,
   729,71289,7112889,711128889,⋯
5. Diketahui bilangan empat digit N dan jumlah keempat digitnya sama dengan 2001. Tentukan bilangan N tersebut.
6. Jika
   N=111⋯111989 digit×111⋯111989 digit
   Tentukan jumlah semua digit dari N.
7. Carilah semua bilangan kuadrat tepat empat digit yang berbentuk aabb.
8. Carilah semua bilangan yang berawal dengan angka 6 dan mengecil 25 kali kalau angka pertama dihapus.
9. Carilah semua bilangan yang angka keduanya dihapus menghasilkan faktor bilangan semula.
10. Carilah bilangan orisinil terkecil yang dimulai dengan angka 1 dan membesar tiga kali kalau angka pertama dipindah menjadi angka terakhir.

Pusing? Berarti Anda berpikir. Lanjutkan dan dengan cara itu kita berkembang.